Dezimalzahlen: Bereiche, Arten und Beispielrechnungen
Was ist ein Dezimalsystem?
Damit man verstehen kann, was eine Dezimalzahl ist, muss zunächst das Dezimalsystem erklärt werden. Die Bezeichnung “Dezimalsystem” hat einen mittellateinischen und einen lateinischen Ursprung. Aus dem Mittellateinischen stammt der Begriff “decimalis” und aus dem Lateinischen “decem”, welche beide für “zehn” stehen. Das System kann wahlweise auch als Zehnersystem oder dekadisches System bezeichnet werden. Beim Dezimalsystem handelt es sich um ein Zahlensystem, welches als Basis die Zahl 10 verwendet.
Entwickelt wurde dieses System in Indien. Dieses etablierte sich in der dortigen Zahlenschrift. Anschließend fand das System Anklang in Arabien. Durch diese Zwischenstation konnte es schließlich auch in die europäischen Länder gelangen. Mittlerweile hat sich das Dezimalsystem zu einem international anerkannten Standard entwickelt.
Unter dem Dezimalsystem wird in der Regel ein Stellenwertsystem verstanden, wobei es auch in anderen Bereichen, eben ohne dieses Stellenwertsystem, verwendet werden kann. Damit das Dezimalsystem funktionieren kann, werden Ziffern benötigt. Dazu gehören null, eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht und neun. Diese können wahlweise auch als Dezimalziffern bezeichnet werden. Unabhängig von der Schreibweise, welche auf der ganzen Welt ziemlich abweichend ist, können nur diese zehn Ziffern der Kategorie der Ziffern zugeordnet werden.
Was ist eine Dezimalzahl?
Tagtäglich triffst du im Alltag auf Dezimalzahlen. Manchmal ist dir dies gar nicht weiter bewusst. Dezimalzahlen sind sogenannte Kommazahlen. Das bedeutet, dass es sich bei ihnen um keine ganzen Zahlen handelt. Vielmehr sind sie ein Teil von einer ganzen Zahl. Häufig werden sie auch als Bruchzahlen bzw. Dezimalbrüche bezeichnet. Diese können tatsächlich dann auch in Brüche umgewandelt werden. Ein paar Beispiele für Dezimalzahlen sind beispielsweise 0,7 – 34,9 – 6,93 oder 125,35. Anhand der Beispiele kann bereits erkannt werden, dass die Dezimalzahl über Zahlen vor dem Komma und über Zahlen nach dem Komma verfügt. Diese werden auch als Vorkommastellen bzw. Nachkommastellen bezeichnet. Ist nun die Nachkommastelle nicht null, bedeutet dies, dass sich diese Dezimalzahl zwischen zwei ganzen Zahlen befindet. Durch die Beispiele wird gleichzeitig auch deutlich, dass die Vorkomma- bzw. Nachkommastellen nicht zwangsläufig aus einer Ziffer bestehen müssen.
Wie lese ich die einzelnen Ziffern einer Dezimalzahl?
Die einzelnen Ziffern, aus welchen eine Dezimalzahl besteht, erhalten verschiedene Bezeichnungen. Beginnen wir mit den Vorkommastellen, also von der linken Seite des Kommas. Die erste Stelle wird als Einer bezeichnet, die zweite ist der Zehner, die dritte der Hunderter und die vierte der Tausender. Natürlich kann dies noch weiter zugeordnet werden. Diese kommen jedoch am häufigsten vor. Bei den Nachkommastellen wird die erste Stelle als Zehntel, die zweite als Hundertstel und die dritte als Tausendstel bezeichnet. Auch dies kann unendlich weiter bezeichnet werden. Nun ein paar Beispiele für das bessere Verständnis:
Die Dezimalzahl 124,54 kann aufgeschlüsselt werden in: 1 Hunderter, 2 Zehner, 4 Einer, 5 Zehntel und 4 Hundertstel.
Die Dezimalzahl 9.367,193 kann aufgeschlüsselt werden in: 9 Tausender, 3 Hunderter, 6 Zehner, 7 Einer, 1 Zehntel, 9 Hundertstel und 3 Tausendstel.
Die Dezimalzahl 50,40 kann aufgeschlüsselt werden in: 5 Zehner, 0 Einer, 4 Zehntel und 0 Hundertstel.
In welchen Bereichen werden Dezimalzahlen verwendet?
Dezimalzahlen können, wie bereits erwähnt, überall im Alltag gefunden werden. So werden beispielsweise Geldbeträge, Längen oder auch Gewichte in Dezimalzahlen dargestellt. Auch bei den Rechenaufgaben in der Schule kann es häufig vorkommen, dass das Ergebnis keine ganze Zahl ist. Deshalb ist es wichtig zu wissen, wie man mit Dezimalzahlen umgeht.
Welche Arten von Dezimalzahlen gibt es?
Bei den Dezimalzahlen kann zwischen drei verschiedenen Arten unterschieden werden. So gibt es abbrechende, periodische und irrationale Dezimalzahlen. Zunächst zu den abbrechenden Dezimalzahlen: Diese verfügen über endlich viele Kommastellen. Konkret bedeutet das, dass nach einer gewissen Kommastelle die Reihe abbricht, da sich die Ziffer nicht von Null unterscheidet. Außerdem gibt es periodische Dezimalzahlen. Im Gegensatz zu den abbrechenden Dezimalzahlen endet die Reihe von Ziffern bei diesen niemals. Das heißt konkret, dass sich bei den Nachkommastellen immer wieder dieselbe Ziffer wiederholt. Diese häufige Wiederholung wird auch als Periode bezeichnet. Ein Beispiel dafür wäre: 1,66666 oder 0,33333. Damit man diese unendlich langen Zahlen nicht ausschreiben muss, setzt man zumeist bei der ersten oder zweiten Nachkommastelle einen kleinen Punkt über die Ziffer. Dieser deutet an, dass es sich in diesem Fall um eine periodische Zahl handelt. Auch bei den irrationalen Zahlen bricht die Reihe an Ziffern nicht ab. Im Gegensatz zu den periodischen Zahlen verfügen die irrationalen Zahlen aber über keine Periode. Das heißt, bei ihnen wiederholt sich die Ziffernfolge nicht. Deshalb können irrationale Dezimalzahlen auch als nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalzahlen bezeichnet werden. Damit du dir diese Zahlen etwas besser vorstellen kannst: Eine solche irrationale Dezimalzahl ist beispielsweise das Pi.
Weshalb werden Dezimalzahlen gerundet?
Häufig kann es vorkommen, dass Dezimalzahlen viele Nachkommastellen haben. Wenn es sich aber eigentlich um Geldbeträge handelt, ist es sinnvoll, die Nachkommastellen auf zwei zu reduzieren. Damit hat man die Centbeträge. Dezimalzahlen zeigen die Ergebnisse in voller Genauigkeit an. Wie das Beispiel aber zeigt, ist dies nicht immer unbedingt sinnvoll. Hierbei reicht es aus, die Zahlen in einer gewissen Genauigkeit anzugeben. Damit man die Zahlen für die jeweilige Angabe passend angeben kann, müssen die Dezimalzahlen noch gerundet werden. Wie das funktioniert, wirst du sogleich erfahren.
Wie rundet man Dezimalzahlen?
Wie man eine Dezimalzahl rundet, ist stets von der jeweiligen Situation bzw. der Angabe abhängig. Grundsätzlich kann dabei alles gefragt werden. Zumindest im Alltag ist es sinnvoll, die Dezimalzahl auf Zehntel oder Hundertstel zu runden. Dies ist beispielsweise bei der Temperaturangabe ratsam. Natürlich kann auch gefragt sein, die jeweilige Dezimalzahl auf Tausendstel etc. zu runden. Hierbei wird dasselbe System wie beim Runden auf die anderen Nachkommastellen verwendet. Wie gerundet werden muss, ist von der jeweiligen Fragestellung abhängig. Wenn nach Zehntel gefragt wird, muss diese Zahl als letzte herangezogen und gerundet werden. Gleich verläuft dies bei den anderen. Wenn diese Ziffer nun kleiner als fünf ist, muss sie abgerundet werden. Das bedeutet, dass die vorangegangene Ziffer unverändert bleibt. Wenn diese Ziffer jedoch größer als fünf ist, muss aufgerundet werden. Das bedeutet, dass die vorangegangene Ziffer um eins erhöht wird. In gewissen Fällen kann es auch gefragt sein, eine Dezimalzahl auf eine der Vorkommastellen zu runden. Dies erfolgt in der gleichen Weise wie bei den Nachkommastellen. Nun ein paar Beispiele für das bessere Verständnis:
Die Zahl 3,58 soll auf Zehntel gerundet werden. Dies sieht dann folgendermaßen aus: 3,6.
Die Zahl 4,62 soll auf Zehntel gerundet werden. Dies sieht dann folgendermaßen aus: 4,6.
Die Zahl 2,359 soll auf Hundertstel gerundet werden. Dies sieht dann folgendermaßen aus: 2,36.
Die Zahl 8,221 soll auf Hundertstel gerundet werden. Dies sieht dann folgendermaßen aus: 8,22.
Die Zahl 8,2314 soll auf Tausendstel gerundet werden. Dies sieht dann folgendermaßen aus: 8,231.
Die Zahl 4,8271 soll auf Tausendstel gerundet werden. Dies sieht dann folgendermaßen aus: 4,827.
Die Zahl 8,92 soll auf Einer gerundet werden. Dies sieht dann folgendermaßen aus: 9.
Die Zahl 6,31 soll auf Einer gerundet werden. Dies sieht dann folgendermaßen aus: 6.
Wie wandelt man Dezimalzahlen in Brüche um?
Jede Dezimalzahl kann nicht nur gerundet, sondern auch in einen Bruch verwandelt werden. Die Umwandlung an sich ist nicht weiter schwierig. Wenn man also eine Dezimalzahl in einen Bruch verwandeln möchte, muss man die Dezimalen in Brüche mit Zehnerpotenzen umwandeln. Dies ist natürlich abhängig von der Anzahl der Dezimalen. Hat man also beispielsweise drei Stellen bei der Dezimalzahl nach dem Komma, erhält der Bruch im Nenner auch drei Nullen. In den Zähler übernimmt man die Ziffern der Nachkommastellen. In einigen Fällen können die daraus entstehenden Brüche auch noch gekürzt werden. Ein paar Beispiele für das bessere Verständnis:
Natürlich funktioniert dies auch umgekehrt. Man kann einen Bruch also auch in eine Dezimalzahl verwandeln. Zunächst muss der Nenner betrachtet werden. Erhält dieser bereits eine Zehnerpotenz, kann der Bruch sofort in eine Dezimalzahl verwandelt werden. Ist dies nicht der Fall, muss der Nenner und damit auch der Zehner mit einer Ziffer multipliziert oder dividiert werden, damit man eine Zehnerpotenz im Nenner erhält. Anschließend kann dieser Bruch dann in eine Dezimalzahl verwandelt werden. Unter den Zehnerpotenzen versteht man die Zahlen 10, 100, 1000 usw. Ein paar Beispiele zur Erklärung:
Abschließend noch ein paar wichtige Brüche bzw. Dezimalzahlen, welche du dir sowohl als Dezimalzahl als auch als Bruch einprägen solltest:
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