Proportionale und antiproportionale Zuordnungen, Dreisatz
Was ist Proportionalität?
Das Wort Proportionalität kann auch als Verhältnismäßigkeit bezeichnet werden. Bei der direkten und indirekten Proportionalität sowie auch beim Dreisatz geht es in erster Linie um Zuordnungen von verschiedenen Größen. Unter einem solchen Wertepaar versteht man zwei Größen, welche einander zugeordnet werden. Dies kann durch eine Zuordnung ausgedrückt werden.
Diese Zuordnungen können eindeutig sein. Als Beispiel: Man ordnet den Vor- und Nachnamen einer Person zusammen. Man erhält die Zuordnung Max Mustermann. Ähnlich ist dies auch, wenn man sagt, dass der Vorname und das Geburtsdatum zusammengehören. Max Mustermann und 12. März 1999. Die beiden Größen können als x und y bezeichnet werden. Natürlich ist auch jede andere Variable passend. Dass zwischen x und y eine Zuordnung besteht, wird mit einem Pfeil angedeutet.
Die letzten Beispiele stellten eindeutige Zuordnungen dar. Dies muss aber nicht immer zwingend der Fall sein. Beispielsweise die Höchsttemperatur an einem gewissen Tag. So hat man auch ein x (Höchsttemperatur) und ein y (Tag). In diesem Fall ist die Zuordnung nicht eindeutig, da es auch an anderen Tagen dieselbe Höchsttemperatur geben kann. Damit die Zuordnung eindeutig wird, müssen das x und das y vertauscht werden. So steht die Höchsttemperatur nun für das y und der Tag für das x. An diesem Tag kann es schließlich nur eine Höchsttemperatur geben. Damit ist die Zuordnung eindeutig.
Direkte Proportionalität
Als direkt proportional kann eine Zuordnung verstanden werden, wenn die Größe in einem geraden Verhältnis zu einer anderen Größe steht. Daraus lassen sich folgende zwei Sätze ableiten:
– mehr – mehr
Das bedeutet, je mehr eine Größe zunimmt, desto mehr nimmt auch die zweite Größe zu. Ein Beispiel: Zum Doppelten der einen Größe gehört das Doppelte der anderen Größe.
– weniger – weniger
Das bedeutet, je weniger eine Größe zunimmt, desto weniger nimmt auch die zweite Größe zu. Ein Beispiel: Zur Hälfte der einen Größe gehört die Hälfte der anderen Größe.
Wie die Beispiele zeigen, verändern sich die beiden Größen immer im selben Verhältnis. Das wird auch als direkt proportional bezeichnet. Bei der Steigerung der Größe kann es sich aber nicht nur um das Doppelte, sondern auch das Dreifache, Vierfache, Fünffache etc. handeln.
Wie sieht der Graph einer direkten proportionalen Zuordnung aus?
Der Graph einer direkten proportionalen Zuordnung verfügt über eine x-Achse und eine y-Achse. Da sich die Größen im Verhältnis gleich weiterentwickeln, beginnt die Gerade im Ursprung. Dieser Punkt kann auch als (0 I 0) ausgedrückt werden. Anschließend musst du jedem x ein passendes y zuweisen. Schnell wirst du dabei bemerken, dass die Gerade in einer geraden Linie weitergezogen werden kann. Solltest du nur einen Graphen zur Verfügung haben, kannst du anhand des Verlaufes der Gerade leicht erkennen, ob es eine direkte proportionale Zuordnung ist oder nicht. Hilfsweise kannst du auch die x- und y-Werte aus dem Graphen in eine Tabelle übernehmen.
Besonders an der direkten proportionalen Zuordnung ist, dass der Quotient für jedes Wertepaar gleich ist. Um den Quotienten zu ermitteln, musst du lediglich das jeweilige y durch das x dividieren. Für jedes Wertepaar der beiden Größen x und y bekommst du dasselbe Ergebnis heraus. Dies kann auch als Proportionalitätsfaktor bezeichnet werden. Hier ein Beispiel:
Damit du leichter direkte proportionale Zuordnungen in der Praxis erkennen kannst, findest du hier ein paar Beispiele von Zuordnungen, welche immer direkt proportional sind: Benzin/Diesel und die Fahrtstrecke – Fahrzeit und der zurückgelegte Weg – Kilometer und Kosten – Alter und die Körpergröße – Gewicht und der Preis – Zahl der Arbeitsstunden und der Lohn.
Beispiele
Beispiel 1
Anna möchte Brötchen kaufen. Auf dem Schild vor dem Geschäft liest sie, dass ein Brötchen 0,50 Euro kostet. Anna will vier Semmeln kaufen. Wie viel muss Anna für die Brötchen bezahlen? Am besten stellst du dir eine Tabelle oder eine Zuordnung auf. Im Folgenden wird beides erläutert.
1 Brötchen – 0,50 Euro
2 Brötchen – 2 ∙ 0,50 Euro = 1 Euro
3 Brötchen – 3 ∙ 0,50 Euro = 1,50 Euro
4 Brötchen – 4 ∙ 0,50 Euro = 2 Euro
Anhand der Tabelle kann abgelesen werden, dass 4 Brötchen Anna 2 Euro kosten werden.
1 Brötchen – 0,50 Euro
4 Brötchen – x Euro
Auch diese Variante kommt zu dem Schluss, dass Anna 2 Euro für ihre vier Brötchen bezahlen muss.
Beispiel 2
Viktor ist ein leidenschaftlicher Radfahrer. Mittlerweile schafft er es, in einer Stunde 30 km zurückzulegen. Heute hat er nur drei Stunden zum Radfahren Zeit. Wie viele km wird Viktor in den drei Stunden zurücklegen können?
Auch dieses Beispiel kann mithilfe einer Tabelle oder einer Zuordnung gelöst werden.
1 Stunde – 30 Kilometer
2 Stunden – 2 ∙ 30 Kilometer = 60 Kilometer
3 Stunden – 3 ∙ 30 Kilometer = 90 Kilometer
Beispiel 3
Martina hat die Aufgabe, Flyer für eine Spendenaktion zu verteilen. Die Druckerei hat ihr 500 Flyer gegeben. Nach einiger Zeit wird ihr klar, dass sie genau 50 Flyer in einer Stunde verteilen kann. Wie lange braucht Martina, um die gesamten Flyer zu verteilen?
Auch dieses Beispiel kann mit einer Tabelle oder einer Zuordnung gelöst werden:
1 Stunde – 50 Flyer
2 Stunden – 2 ∙ 50 = 100 Flyer
3 Stunden – 3 ∙ 50 = 150 Flyer
4 Stunden – 4 ∙ 50 = 200 Flyer
5 Stunden – 5 ∙ 50 = 250 Flyer
6 Stunden – 6 ∙ 50 = 300 Flyer
7 Stunden – 7 ∙ 50 = 350 Flyer
8 Stunden – 8 ∙ 50 = 400 Flyer
9 Stunden – 9 ∙ 50 = 450 Flyer
10 Stunden – 10 ∙ 50 = 500 Flyer
Wie du von der Tabelle ablesen kannst, wird Martina in zehn Stunden alle Flyer verteilt haben. Nun noch zur Berechnung durch die Zuordnung:
50 Flyer – 1 Stunde
500 Flyer – x Stunden
x = 0,50 ∙ 4
x = 10 Stunden
Auch die Zuordnung kommt zu der Lösung, dass Martina zehn Stunden für das Verteilen der Flyer benötigen wird.
Indirekte Proportionalität
Indirekte proportionale Zuordnungen können auch als nicht proportionale Zuordnungen bezeichnet werden. Aufgrund der gegenteiligen Zuordnung gegenüber der direkten proportionalen Zuordnung kann sie auch als umgekehrte Proportionalität bezeichnet werden. Hierbei lassen sich auch zwei Sätze ableiten:
– mehr – weniger
Das bedeutet, je mehr eine Größe zunimmt, desto mehr nimmt die zweite Größe ab. Ein Beispiel: Je mehr Arbeiter auf einer Baustelle arbeiten, desto weniger Arbeitszeit benötigen sie, um die Arbeit fertigzustellen.
– weniger – mehr
Das bedeutet, je weniger eine Größe zunimmt, desto mehr nimmt die zweite Größe zu. Ein Beispiel: Je weniger Personen den Stall streichen, desto mehr Zeit werden sie benötigen.
Auch hier können die Variablen wieder als x und y bezeichnet werden. Wie schon die Sätze zeigen, verändern sich die Größen bei der indirekten proportionalen Zuordnung nicht auf dieselbe Weise. So kann das x zwar verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht etc. werden, dennoch kann sich das y nicht auf dieselbe Weise steigern. Das y wird dafür halbiert, gedrittelt, geviertelt etc.
Wie sieht der Graph einer indirekten proportionalen Zuordnung aus?
Der Graph einer indirekten proportionalen Zuordnung stellt keine Gerade dar. Es handelt sich hierbei um eine Hyperbel. Eine Hyperbel besteht aus zwei Ästen. Diese haben in jedem Punkt eine gleichbleibende Differenz. Deshalb verlaufen die beiden Äste auch symmetrisch zueinander.
Bei der indirekten proportionalen Zuordnung ist nicht der Quotient, sondern das Produkt von jedem Wertepaar der zugeordneten Größen gleich. Dies kann folgendermaßen dargestellt werden: x ∙ y. Nun ein Beispiel für das leichtere Verständnis:
x = 4; y = 6
x ∙ y = 4 ∙ 6 = 24
x = 8; y = 3
x ∙ y = 8 ∙ 3 = 24
Bei jeder dieser Zuordnungen bilden die Wertepaare dasselbe Produkt. So kannst du auch leicht feststellen, dass es sich um eine indirekte proportionale Zuordnung handelt.
Beispiele
Beispiel 1
Beim Hausbau arbeiten drei Arbeiter sehr fleißig. Gemeinsam benötigen sie 6 Stunden, um die Arbeit zu vollenden. Wie lange würden vier Arbeiter für dieselbe Aufgabe benötigen? Auch die indirekten proportionalen Zuordnungen können in einer Tabelle oder einer Zuordnung dargestellt werden:
1 Arbeiter – 3 ∙ 6 = 18 Stunden
2 Arbeiter – 18 : 2 = 9 Stunden
3 Arbeiter – 6 Stunden
4 Arbeiter – 18 : 4 = 4,5 Stunden
Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass vier Arbeiter 4,5 Stunden benötigen werden. Nun noch zur Zuordnung:
3 Arbeiter – 6 Stunden
4 Arbeiter – x Stunden
x = 3 ∙ 6 : 4
x = 4,5 Stunden
Auch die Zuordnung kommt zu dem Ergebnis, dass vier Arbeiter 4,5 Stunden benötigen werden.
Dreisatz
Der Dreisatz wird häufig verwendet, um Verhältnisaufgaben zu lösen. So sind zumeist zwei Werte gegeben, welche in einem gewissen Verhältnis zueinanderstehen. Der Dreisatz ermöglicht es, dass aus diesem Verhältnis ein neues Verhältnis berechnet werden kann. Er wird als solcher bezeichnet, da er sich aus insgesamt drei Schritten zusammensetzt.
Man kann zwischen zwei verschiedenen Arten von Dreisätzen unterscheiden: Einerseits gibt es den proportionalen Dreisatz und andererseits den antiproportionalen Dreisatz. Diese beiden stellen gleichzeitig die direkte bzw. indirekte proportionale Zuordnung dar. Der proportionale Dreisatz wird auch als gerader Dreisatz bezeichnet, da sich die Werte immer proportional zueinander verhalten. Beim antiproportionalen Dreisatz verändern sich die Werte aber nicht im selben Maß.
Über welche Schritte verfügt der Dreisatz?
Wie bereits bei der indirekten und direkten proportionalen Zuordnung erläutert, muss nicht immer auf den Dreisatz zurückgegriffen werden. So können Verhältnisse auch auf andere, wie bereits erklärte, Weisen festgestellt werden. Nun aber zu der Drei-Stufen-Prüfung des Dreisatzes:
Schritt 1: Hierbei solltest du dir die wichtigen Informationen, also die genauen Zahlenangaben, herausschreiben.
Schritt 2: Berechne anschließend die Höhe bzw. den Wert einer Sache! Dies kann durch Multiplikation oder Division erfolgen!
Schritt 3: Berechne abschließend die Höhe für die gesamte gesuchte Menge! Dies kann durch Multiplikation oder Division erfolgen!
Weiterführende Inforamtionen
