Prozentrechnung
Was sind Prozent?
Prozent sind Zahlenangaben. Sie sollen gewisse Größenverhältnisse deutlich und vergleichbar machen. Dafür erhalten alle Größen denselben Grundwert, welcher immer Hundert ist. Das Prozentzeichen ist das %. Früher hat man häufig auch die Abkürzung “vH” oder “v.H.” verwendet, welche für “von Hundert” stehen. Dies stammt aus dem Italienischen, in welchem Prozent auch als “per cento” angegeben wird.
Was ist die Prozentrechnung?
Die Prozentrechnung hilft dir dabei, die gefragten Prozent einer Aufgabe zu berechnen. Sie sorgt dafür, dass verschiedene Zahlengrößen miteinander in Verbindung gebracht werden. Dafür musst du dir einfach ein paar Formeln merken. Diese folgen etwas später.
Prozentrechnung im Alltag
Die Prozentrechnung wirst du nicht nur im Mathematikunterricht verwenden. So findet sie häufig auch im Alltagsleben Anwendung. Auf deinem Smartphone hast du beispielsweise die Möglichkeit, dir den Akkustand in Prozent anzeigen zu lassen. Ähnlich ist dies auch bei Laptops, Tablets oder Kameras. In Geschäften werden vergünstigte Produkte zumeist nur durch den Prozentsatz angegeben. So steht dort beispielsweise “-15 %”. Dann kann es durchaus hilfreich sein, zu wissen, wie viel dies auf den Gesamtpreis ausmacht. Viele Geschäfte werben regelmäßig mit Rabatten wie “-50 %, -60 % oder -20 %”. Auf Lebensmitteln werden die Nährwerte zumeist auch in Prozent angegeben. So kann man sich leichter vorstellen, wie große Teile beispielsweise Fett in einem Joghurt sind. Häufig verwenden Sportler auch die Bezeichnung “Ich gebe bei jedem Spiel 100 %.”. Damit sollen sie ausdrücken, dass sie ihr Bestes geben und all ihre Fähigkeiten einsetzen. Bei Fußballspielen wird beispielsweise der Ballbesitz in Prozent angegeben. So kann man schnell feststellen, welche Mannschaft länger den Ball hat. Auch die Torquote des Torwarts oder die Tore in Spielen von Spielern werden gerne in Prozent angegeben. Bei Sparbüchern wird der Zinssatz zumeist in Prozent angegeben. So kann man jederzeit den aktuellen Zinssatz berechnen, selbst wenn sich das Vermögen ändert. Bei Wahlen wird die Verteilung der Stimmen der Wähler in Prozent angegeben. Aber auch allgemeine Informationen, wie beispielsweise der Wassergehalt der Erde oder die Höhe der Vegetarier in Deutschland, werden durch Prozentsätze wiedergegeben. In der Wirtschaft werden die Marktanteile von Unternehmen durch Prozent angegeben. Auf der Börse kann man durch die Prozentzahl ablesen, ob eine Aktie gerade im Steigen oder im Fallen ist. Wie du bereits erkennen kannst, triffst du tagtäglich auf Prozentangaben. Die angeführten Beispiele stellen nur einen kleinen Einblick in die Verwendung von Prozentangaben und die Prozentrechnung dar.
Prozentrechnung und Brüche
Eine Besonderheit der Prozentrechnung bzw. von Prozent an sich ist, dass sie einfachst in Brüche verwandelt werden kann. Das bedeutet, dass jede Prozentangabe auch als Bruch dargestellt werden kann. Prozent stellen in jedem Fall einen gewissen Anteil von Hundert dar. So wandert der Wert Hundert bei der Umwandlung zu einem Bruch in den Nenner des Bruchs. In den Zähler schreibst du einfach den konkreten Prozentsatz. Ein paar Beispiele:
Bei der Umwandlung in einen Bruch muss aber beachtet werden, dass gewisse Brüche auch gekürzt werden können. Aus diesem Grund solltest du dir gewisse Brüche bzw. Prozentangaben einfach einprägen. Die meisten davon wirst du aus dem Alltag bzw. dem Unterricht bereits kennen.
Natürlich kann die Umwandlung auch in umgekehrter Reihenfolge erfolgen. So kannst du von einem Bruch auf den Prozentsatz umrechnen. In diesem Fall muss der Nenner und der Zähler mit einer Zahl erweitert bzw. gekürzt werden. Wichtig ist hierbei, dass die Zahl für die Erweiterung bzw. Kürzung gemeinsam mit dem Nenner 100 ergibt. Abschließend multiplizierst du noch den Zähler mit der Zahl der Erweiterung bzw. Kürzung. So erhälst du dann den Prozentsatz aus dem Bruch. Ein paar Beispiele:
Zehnerpaare und die Prozentrechnung
Dir werden aus der Grundschule sicherlich noch die Zehnerpaare bekannt sein. So ergeben die Zahlen von 1 bis 10 in gewissen Kombinationen immer zehn. Dabei ergeben sich gewisse Paare:
1 und 9 ergeben 10.
2 und 8 ergeben 10.
3 und 7 ergeben 10.
4 und 6 ergeben 10.
5 und 5 ergeben 10.
Diese Paare können auch in die Prozentrechnung übernommen werden. So ergeben
10 % und 90 % immer 100 %,
20 % und 80 % immer 100 %,
30 % und 70 % immer 100 %,
er40 % und 60 % immer 100 %
und 50 % und 50 % immer 100 %.
Hieran kannst du auch erkennen, dass mit 100 % immer das Ganze gemeint ist.
Prozentrechnung und Dezimalzahlen
Prozentsätze können nicht nur in Brüche, sondern auch in Dezimalzahlen verwandelt werden. Dasselbe ist auch bei Brüchen und Dezimalzahlen möglich. Die Umwandlung von Prozent in Dezimalzahl ist sehr einfach. So musst du einfach den Prozentsatz durch 100 dividieren. Einfacher gesagt, muss das Komma um zwei Stellen nach links verschoben werden. Ein paar Beispiele für das bessere Verständnis:
Auch die Verwandlung von einer Dezimalzahl in einen Prozentsatz ist nicht weiter schwierig. So muss die Dezimalzahl einfach mit 100 multipliziert werden. An das Ergebnis muss noch das Prozentzeichen (%) angefügt werden. Dies sieht in konkreten Fällen folgendermaßen aus:
0,62 wird mit 100 multipliziert und dadurch erhält man 62 %.
0,06 wird mit 100 multipliziert und dadurch erhält man 6 %.
0,34 wird mit 100 multipliziert und dadurch erhält man 34 %.
Formeln der Prozentrechnung
Die Prozentrechnung ist an sich eine lineare Funktion. Sie bildet in erster Linie reelle Zahlen ab. Dabei handelt es sich um einen bestimmten Zahlenbereich der Mathematik. Umfasst von diesen Zahlen sind die rationalen und irrationalen Zahlen. Zu den rationalen Zahlen gehören die ganzen Zahlen (also -2, -1, 0, 3, 4) und die natürlichen Zahlen (also 1, 5, 9, 3). Zu den irrationalen Zahlen gehören die transzendenten und die nicht-berechenbaren Zahlen. Die reellen Zahlen nehmen somit jeglichen anderen Zahlenbereich der Mathematik in sich auf.
Die Grundformel der Prozentrechnung lautet folgendermaßen: p = p / 100. Das kleine p steht in diesem Fall für die Prozentzahl, welche auch als Prozentfuß bezeichnet werden kann. In diesem Fall stellen 100 % also 100 den Grundwert dar. Kein Prozentsatz kann höher als 100 % sein. So kann der Nenner der Formel auch als Grundwert (G) bezeichnet werden. Im Nenner steht der Prozentsatz, welcher auch als Prozentwert (W) bezeichnet werden kann. Somit ergibt sich darauffolgende Formel: Prozentwert (W) / Grundwert (G). Diese unterscheidet sich jedoch nur in der Bezeichnung von der oben genannten Formel.
Diese Grundformel kann aber auch noch umgeformt werden. So können sowohl der Prozentwert (W), der Prozentsatz (p) als auch der Grundwert (G) durch eine einfache Umformung der Formel berechnet werden!
Um den Prozentwert (W) zu berechnen, muss folgende Formel angewandt werden:
Um den Prozentsatz (p) zu berechnen, muss folgende Formel angewandt werden:
Um den Grundwert (G) zu berechnen, muss folgende Formel angewandt werden:
Zudem gibt es eine Kontrollformel, mit welcher du deine Berechnung überprüfen kannst. So muss immer 100 ergeben. Wenn du dieses Ergebnis nicht rausbekommst, ist dir ein Fehler bei der Berechnung unterlaufen.
Wie löse ich eine Aufgabe der Prozentrechnung?
Am besten folgst du folgenden Schritten bei der Lösung einer Aufgabe der Prozentrechnung:
Schritt 1: Lies dir die Aufgabe genau durch!
Schritt 2: Streiche dir Informationen zu Grundwert, Prozentsatz oder Prozentwert heraus!
Schritt 3: Anhand der Angaben kannst du auch feststellen, welcher Wert gesucht ist.
Schritt 4: Überlege dir nun, welche der Formeln du für die Berechnung benötigst!
Schritt 5: Setze die Werte in die Formel ein!
Schritt 6: Löse die Gleichung!
Beispiele
Beispiel 1
Anna, Justus und Richard spielen liebend gerne Lotto. Am Freitag haben sie dann 7.600 EUR gewonnen. Der Mann in der Trafik teilt ihnen überglücklich mit, dass sie auch noch einen Aufschlag von 4 % hinzubekommen. Wie viel Geld bekommen die drei?
In diesem Fall wird nach dem Prozentwert gesucht. So ist der Grundwert (G) mit 7.600 EUR und der Prozentsatz (p) mit 4 % gegeben. Somit muss folgende Formel angewendet werden:
Damit man den gesamten Gewinn erhält, müssen die 304 EUR zu den 7.600 EUR hinzugezählt werden. Damit erhält man insgesamt 7.904 EUR Gewinn.
Beispiel 2
Bernd versucht, sich gesund zu ernähren. So stellt er sein Mittagessen speziell nach seinen Bedürfnissen zusammen. In einem Artikel hat er erfahren, dass es nicht leicht ist, genügend Eiweiße zu sich zu nehmen. Aus diesem Grund nimmt er bei einem Mittagessen mit 380 Gramm mindestens 76 Gramm Eiweiß zu sich. Als er seiner Freundin davon erzählt, fragt sich diese, wie viel Prozent des gesamten Mittagessens aus Eiweiß besteht.
In diesem Fall wird der Prozentsatz gesucht. So ist der Grundwert (G) mit 380 Gramm und der Prozentwert (W) mit 76 Gramm gegeben. Somit muss folgende Formel angewendet werden:
Das Mittagessen von Bernd besteht zu 20 % aus Eiweiß.
Beispiel 3
Sandra trainiert gerade mit ihrem Tischtennislehrer. Dieser versucht, eine Statistik über ihre Schläge zu erstellen. Insgesamt bringt Sandra 60 % der Schläge auf den Tisch. Das entspricht exakt 15 Schlägen. Durch das viele Üben hat Sandra ganz vergessen, wie viele Schläge sie gemacht hat.
In diesem Fall wird der Grundwert gesucht. So ist der Prozentsatz (p) mit 60 % und der Prozentwert (W) mit 15 Schlägen gegeben. Somit muss folgende Formel angewendet werden:
Sandra hat insgesamt 25 Schläge gemacht, wovon sie 15 auf den Tisch gebracht hat.
Weiterführende Informationen
