Der Satz des Pythagoras sagt uns etwas über die Beziehungen der Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck. Dazu betrachten wir das folgende rechtwinklige Dreieck.

Die Seiten a und b sind die sogenannten Katheten. Die Seite c bezeichnet man als Hypotenuse. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Für die Seitenlängen dieses Dreiecks gilt nun der Satz des Pythagoras.

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

Die Summe der beiden Kathetenquadrate ist gleich des Hypotenusenquadrats. Um das noch etwas besser zu veranschaulichen, schauen wir uns die folgende Abbildung an, die ein erster Schritt in Richtung eines Beweises ist.

Die Flächen der Quadrate über den Seiten a und b sind zusammen genauso groß wie die Fläche des Quadrats über der Seite c. Hierbei ist zu beachten, dass die Seite c die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks ist und a und b die beiden kürzeren Seiten. Im Folgenden finden sich beispielhaft einige Aufgaben.

Der Satz des Pythagoras – ein Beweis

Den Satz des Pythagoras anwenden und passend umstellen

Für ein konkretes Dreieck sieht der Satz des Pythagoras folgendermaßen aus.

Der Satz des Pythagoras kann aber auch dazu verwendet werden, um fehlende Seitenlängen zu bestimmen. Dazu ein weiteres Beispiel, bei dem die Länge der Hypotenuse fehlt.

Um die Länge der Seite c in Erfahrung zu bringen, muss hierbei nur noch die Wurzel gezogen werden.

Stellt man die Formel von Anfang an nach c um, so lautet diese:

Man kann den Satz des Pythagoras auch dazu verwenden, um die Länge der Katheten a und b zu berechnen. Dazu werden wir unsere ursprüngliche Formel zunächst nach a umstellen.

Stellt man die Formel auf die gleiche Art und Weise nach b um, so erhält man:

In einer konkreten Aufgabe sieht es dann wie in den folgenden Beispielen aus.

Es ist unbedingt zu beachten, dass wir hier die Bezeichnungen a, b und c verwendet haben. In diversen Aufgaben werden jedoch auch zahlreiche andere Bezeichnungen verwendet. Besonders, wenn es sich um rechtwinklige Dreiecke handelt, die in Körpern und anderen Figuren vorkommen. Deswegen sollte man sich immer vor Augen führen, welche Seite die Hypotenuse ist und welche Seiten die Katheten sind. Im nächsten Abschnitt werden wir das einmal beispielhaft betrachten.

Der Satz des Pythagoras in Figuren und Körpern

Rechtwinklige Dreiecke kommen in Körpern und Figuren häufiger vor, als man zunächst annehmen könnte. Dies zu erkennen ist sehr hilfreich, um fehlende Seitenlängen innerhalb von Körpern und Figuren zu bestimmen. Im Folgenden haben wir eine Pyramide. Es ist erkennbar, dass die Höhe h der Pyramide mit der Seitenkante s und der Hälfte der Diagonalen d ein rechtwinkliges Dreieck bildet.

Für dieses rechtwinklige Dreieck sieht der Satz des Pythagoras wie folgt aus.

Die Rechenregeln zur Berechnung einzelner Seitenlängen sind hier natürlich wieder die gleichen, wie schon in den Beispielen weiter oben.

Aufgaben zum Thema Satz des Pythagoras

Aufgabe Satz des Pythagoras – Lernschwierigkeitsgrad leicht

Daniela lässt heute im Garten einen Drachen steigen. Der Drachen befindet sich rund 6 Meter in der Luft. Daniela ist von diesem in waagrechter Linie rund 5 Meter entfernt. Plötzlich gibt es einen festen Windstoß, welcher den Drachen in einen Baum krachen lässt. Daniela kann den Drachen zwar retten, aber nicht die Schnur. Diese muss sie nun im Geschäft neu besorgen. Berechne die Länge der benötigten Schnur, wenn Daniela den Drachen genauso hoch wie heute fliegen lassen möchte.

Aufgabe Satz des Pythagoras – Lernschwierigkeitsgrad mittel

Jana arbeitet in einem Krankenhaus. Jeden Tag muss sie Patienten in andere Stockwerke transportieren. Die Betten im Krankenhaus sind besonders groß, weshalb sie für den Transport auch einen speziellen Lift haben. Am heutigen Tag werden viele Patienten auf andere Stationen verlegt, so dass der Lift nicht immer frei. Jana und ihre Kollegin überlegen sich, ob sie das Bett nicht auch in einen der anderen Lifts transportieren können. Das Bett hat eine Länge von 2,20 Metern und eine Breite von 1,20 Metern. Der Patient müsste einmal im Lift gedreht werden. Ansonsten passen die Beatmungsgeräte nicht mit hinein. Der Lift misst in der Diagonale 2,4 Meter. Könnte man das Bett im Lift drehen?

Aufgabe Satz des Pythagoras – Lernschwierigkeitsgrad schwer

In der Stadt sollen Laternen zwischen den Häusern aufgehängt werden. Damit will man erreichen, dass die Stadt besser ausgeleuchtet ist. Da die Stadt erst vor kurzer Zeit errichtet wurde, sind alle Straßen zwischen den Häusern exakt gleich breit. Der Abstand zwischen den Häusern beträgt exakt 8 Meter. Die Straßen darunter werden hauptsächlich als Fußgängerzonen genutzt. Das Seil, auf welchem die Lampen befestigt werden, hat eine Länge von 9 Metern. Aufgrund des Gewichts der Lampen hängt dieses Seil natürlich durch. Die Arbeiter machen sich nun Sorgen, dass die Lampen zu tief in die Straße hineinhängen. Aus diesem Grund muss der Durchhang berechnet werden. Die Lampen sollen mindestens 6 Meter über dem Boden schweben. Die Lampen werden in einer Höhe von 8 Metern angebracht. Kann dies mit einem Seil von 9 Metern erreicht werden?

Antwort: Der Durchhang beträgt 2,06 Meter.