Terme und Funktionen
Nach den Grundlagen der Mathematik, also Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation, sind Terme und Funktionen diejenigen, die dich ständig begleiten. Doch was ist überhaupt ein Term bzw. eine Funktion? Mit diesen Fragen und einigen weiteren beschäftigt sich dieser Text.
Der Term
Aus der Sicht der Mathematik ist ein Term eine Kombination aus Zahlen, Variablen und Symbolen. Diese muss zudem sinnvoll sein. Damit ein Term komplett ist, müssen aber nicht Zahlen, Variablen und Symbole verwendet werden. Auch Rechenzeichen sind nicht zwingend erforderlich. In der Praxis sind die Terme zumeist Teil einer Formel. Dies stellt auch gleichzeitig die Überleitung zu den Funktionen dar. So kann beispielsweise eine lineare Funktion wie f (x) = a ∙ x + b auch in zwei Terme aufgegliedert werden. So stellt das a ∙ x den ersten Term und das b den zweiten Term dar. Zu den Funktionen aber später mehr.
Zunächst stellt sich die Frage, warum in der Mathematik überhaupt Buchstaben zu den Zahlen verwendet werden. So ist es für einige doch schwer verständlich, wie man mit diesen rechnen soll. Doch verstecken sich hinter diesen Buchstaben eigentlich Zahlen, weshalb man schlussendlich doch wieder mit Zahlen rechnet. Am besten wird dies anhand eines Beispiels gezeigt: Bei einer Addition ist es vollkommen irrelevant, welche Zahl als erste geschrieben wird, denn das Ergebnis ist immer gleich: 2 + 4 = 6 genauso wie 4 + 2 = 6. Dies kann nicht nur durch Zahlen, sondern auch durch Buchstaben erläutert werden: x + y = y + x. Bei dieser Gleichung handelt es sich um das Kommutativgesetz der Addition. Egal wie die Zahlen in x und y eingesetzt werden, man erhält in jedem Fall dasselbe Ergebnis. Dies funktioniert in derselben Weise auch bei Multiplikationen. Dieses Gesetz wird auch als Kommutativgesetz der Multiplikation bezeichnet. Ein Beispiel für das bessere Verständnis: 4 ∙ 2 = 2 ∙ 4. Hierbei erhält man in jedem Fall das Ergebnis 8. Dies kann wiederum durch x ∙ y = y ∙ x ausgedrückt werden.
Wenn also in solchen Aussagen Symbole vorkommen und diese zusätzlich auch noch richtig sind, wenn man sie durch Zahlen ersetzt, spricht man von einer sogenannten Identität in der Mathematik. Diese Identitäten können auch als Rechenregeln bezeichnet werden. Damit man solche zusammenstellen kann, werden Buchstaben bzw. Symbole für die Formulierung benötigt. Außerdem werden Buchstaben gerne für sogenannte Berechnungsvorschriften eingesetzt. So kann der Flächeninhalt eines Rechtecks durch die Seiten a und b berechnet werden. Aus diesen beiden Buchstaben ergibt sich die Formel, um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu berechnen. Diese Formel ist in jedem Fall gleich anzuwenden und ist in ihrem Aufbau unveränderlich.
Wie bereits erwähnt, stehen die Buchstaben in den meisten Fällen für Zahlen. Sie sind somit Platzhalter. Terme wiederum können aus solchen Buchstaben bestehen. Da die Terme bzw. Buchstaben noch keine konkrete Zahl zugeordnet bekommen haben, werden sie als Variablen bezeichnet. Bei den Grundrechnungsarten ist die Verwendung von Termen noch relativ einfach. So müssen die Buchstaben des Terms einfach durch Zahlen ersetzt werden. Jedoch können Terme auch bei Winkelfunktionen, Exponentialfunktionen und Logarithmen auftreten. Hierbei ist die Lösung nicht immer leicht zu finden.
Einteilung von Termen in verschiedene Klassen
Wie aus den anfänglichen Erläuterungen bereits deutlich wird, sind Terme umfassend. Aus diesem Grund ist es nur sinnvoll, sie in gewisse Kategorien einzuordnen, um nicht den Überblick zu verlieren. Damit man eine solche Kategorisierung vornehmen kann, müssen gewisse Regeln festgesetzt werden. So spielt hierbei die letzte Rechnung, welche zur endgültigen Lösung des Terms angewendet werden muss, die entscheidende Rolle. Bei den vier Grundrechnungsarten kann somit zwischen Additions- oder Summentermen, Subtraktions- oder Differenzterm, Multiplikations- oder Produktterm und Divisions- oder Quotiententerm unterschieden werden. Ist in einem Term nun keine Rechnung enthalten, spricht man von einem Zahlenterm oder einem Variablenterm. Bei einem Zahlenterm handelt es sich um einen Term, welcher nur aus einer einzigen Zahl besteht. Bei einem Variablenterm hingegen besteht der Term aus einer einzigen Variable.
Umformung von Termen
Das besondere an Termen ist, dass sie umgeformt werden können. So können zwei Terme, welche unterschiedlich aufgebaut sind und unterschiedlich aussehen, dennoch zur selben Zahl führen. Diese Eigenschaft kann auch als äquivalent bezeichnet werden. Das ist gleichzeitig auch das Ziel der Identität. Diese soll genau diese Möglichkeit der unterschiedlichen Schreibweise hervorheben. So werden die beiden Terme (a + b)² – (a – b)² und 4ab schlussendlich zu denselben Zahlen führen. Um darauf zu kommen, dass man hierbei zu denselben Zahlen kommt, ist eine Umformung der beiden Terme notwendig.
Terme und Klammern
Häufig werden Terme mit Klammern versehen. Da stellt sich berechtigterweise die Frage, wie mit solchen umgegangen werden muss. Doch warum werden Klammern überhaupt in Rechnungen eingesetzt? Klammern haben in erster Linie die Aufgabe, Dinge zusammenzufassen. Wenn man folgenden Ausdruck 4 ∙ (3 + 6) vor sich hat, bedeutet dies, dass zunächst 3 + 6 gerechnet werden muss und erst das Ergebnis mit vier multipliziert wird. Dies ist auf die Grundregel “Klammer vor Punkt- und Strichrechnung” zurückzuführen. Natürlich können in den Klammern auch Buchstaben, sprich Variablen, vorkommen. Dabei verändert sich die Herangehensweise nicht. Klammern werden aber auch für eine Strukturierung der einzelnen Terme verwendet. So sorgen sie für eine bessere Übersicht und erleichtern das Lösen von Rechnungen. Damit man beim Ausrechnen der Klammer keine Fehler macht, kann es durchaus sinnvoll sein, von innen zu beginnen.
Produkte aus Termen
Zwei Terme können miteinander nicht nur addiert, sondern auch multipliziert werden. Hierbei müssen die Terme miteinander ausmultipliziert werden. Als Ergebnis erhält man wiederum Terme. Ähnlich wie bei der Addition kommt es auch bei der Multiplikation nicht auf die Reihenfolge an!
Funktionen
DNun aber auch zu den Funktionen. Ähnlich wie die Terme haben auch Funktionen in der Mathematik eine überaus wichtige Bedeutung. Aus diesem Grund ist es hilfreich und notwendig, dass man sich bei ihnen besonders gut auskennt!
Was ist eine Funktion?
Unter einer Funktion kann eine Vorschrift verstanden werden. Aus der Menge A kann jedem Element x auf der Menge B ein Element y zugeordnet werden. Das bedeutet, dass es für jedes x genau ein y gibt. Dass die Elemente einander zugeordnet werden, bezeichnet man als f (x). Das steht wiederum für “Wert der Funktion f an der Stelle x”. Durch die Berechnung der Funktion erhält man das y. Die Menge A wird in der Mathematik als Definitionsbereich von f und die Menge B als Zielbereich von f bezeichnet.
Wie werden die einzelnen Teile ausgesprochen?
Eine Funktion an sich kann auch als Abbildung bezeichnet werden. Der Definitionsbereich von f kann auch wahlweise als Definitionsmenge von f benannt werden. Ausgesprochen wird dies folgendermaßen: “f ist auf der Menge A definiert”. Ein Synonym für Zielbereich ist Zielmenge und für Wertebereich Wertemenge. Bei dem x handelt es sich um ein Element aus der Menge A. Es kann als Variable, Eingabewert, Veränderliche oder Argument bezeichnet werden. Hat die Variable einen konkreten Wert beigefügt, wird dieser als Stelle bezeichnet. Wenn nun ein x der Menge A einem y der Menge B zugeordnet werden kann, spricht man von einem Funktionswert oder einem Funktionswert an der Stelle x. Für diesen Funktionswert kann ein eigenes Symbol wie beispielsweise das y verwendet werden, wobei dies nicht notwendig ist.
Wie können Funktionen dargestellt werden?
Funktionen können auf unterschiedliche Arten und Weisen dargestellt werden. So kann die Funktion f in einem Term niedergeschrieben werden. Hierbei muss darauf geachtet werden, ob eine Definitionsmenge angegeben ist oder nicht. Ist eine solche nicht gegeben, muss vor der Berechnung der Funktion festgestellt werden, welche x-Werte überhaupt ausgewertet werden können. Dies wird auch als Definitionsmenge bezeichnet. Eine Funktion kann außerdem in einer Tabelle dargestellt werden. Die Darstellung als Tabelle bietet sich an, da die Zahlenwerte dadurch übersichtlicher dargestellt werden. Diese Tabelle wiederum kann auch in einen Graphen übernommen werden. So erhält die Funktion mehrere Punkte. Jeder dieser Punkte bekommt zwei Koordinaten zugewiesen. Bei der ersten Koordinate handelt es sich um den jeweiligen x-Wert aus der Menge A und bei der zweiten Koordinate um den y-Wert aus der Menge B. Wenn ein Graph einer Funktion erstellt wird, kann dieser nur aus endlich vielen Punkten bestehen. Das ist dann von der jeweiligen Angabe abhängig. Eine Funktion kann aber auch in einem Mengendiagramm dargestellt werden.
Welche Arten von Funktionen gibt es?
Bezüglich der Arten von Funktionen wirst du in der Mathematik auf viele verschiedene Arten stoßen. So gibt es in der einfachsten Variante die sogenannte lineare Funktion. Ihr Graph ist eine Gerade und verfügt in jedem Punkt über dieselbe Steigung. Zudem gibt es Polynomfunktionen. Die rationalen Funktionen verfügen über einen Definitionsbereich, welcher sich aus reellen Zahlen zusammensetzt, wobei auf die Nullstellen des Polynoms verzichtet wird. Weiter gibt es Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen. Allesamt verfügen über eine unterschiedliche Darstellungsweise. Selbst Winkelfunktionen und Betragsfunktionen bilden eine eigene Art von Funktionen.
Über welche Eigenschaften verfügen Funktionen?
Auch bezüglich der Eigenschaften verfügen die Funktionen über ein breites Spektrum. Auf die einzelnen Besonderheiten wird nun im Folgenden eingegangen:
Injektiv, surjektiv und bijektiv
Eine Funktion kann als injektiv bezeichnet werden, wenn jedes Element aus der Menge B höchstens einmal getroffen wird. Das bedeutet, dass zwei x-Werte immer über verschiedene Funktionswerte verfügen. Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element aus der Menge B getroffen wird. Das bedeutet im Konkreten, dass der Zielbereich der Menge B entspricht. Schließlich kann eine Funktion als bijektiv bezeichnet werden, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Dabei handelt es sich dann um eine exakte Zuordnung zwischen der Menge A und den Elementen der Menge B. Diese Vorschrift kann aber auch umgedreht werden. Dabei handelt es sich dann um eine inverse Funktion, welche auch als Umkehrfunktion bezeichnet wird. Somit kann eine bijektive Funktion auch als invertierbar oder umkehrbar bezeichnet werden.
Die Positivität, die Negativität und die Nullstellen
Weitere Eigenschaften von Funktionen sind ihre Positivität und Negativität wie auch die Nullstellen. Eine Funktion gilt an der Stelle x als positiv, wenn ihr in dem jeweiligen Punkt eine positive y-Koordinate zugeordnet wird. Dies kann folgendermaßen schriftlich ausgedrückt werden: f (x) > 0. Sieht man sich dies auf dem Graphen an, befindet sich der Punkt über der x-Achse. Das Gegenteil ist der Fall, wenn der Funktionswert negativ ist. Schriftlich kann das so ausgedrückt werden: f (x) < 0. Auf dem Graphen befindet sich der Punkt nun unter der x-Achse. Hierbei wird dem x-Wert eine negative Koordinate bzw. ein negativer y-Wert zugeordnet. So kann die Funktion in den einzelnen Punkten also positiv oder nicht negativ oder negativ bzw. nicht positiv bezeichnet werden. Bei den Nullstellen handelt es sich um jene Punkte, in welchen die Funktion die x-Achse auf dem Graphen schneidet. Hiervon kann es je nach Funktion mehrere oder lediglich eine geben.
Die Monotonie, die Minima und Maxima
Funktionen “wachsen” von einem x-Wert zum nächsten. Dieses Wachstum kann auch als Intervall bezeichnet werden. Sieht man sich das Wachsen oder Fallen der Funktion zwischen den beiden Werten an, kann festgestellt werden, ob die Funktion hier monoton wachsend, streng monoton wachsend, monoton fallend oder streng monoton fallend ist. Wenn nun eine Funktion monoton wächst, bedeutet dies, dass die einzelnen Funktionswerte entweder immer größer werden oder gleichbleibend sind. Ist die Funktion nun streng monoton wachsend, ist das Gleichbleiben der Funktionswerte nicht mehr zulässig. Dies lässt sich auch auf monoton fallend und streng monoton fallend in derselben Art und Weise übernehmen.
Der Graph von Funktionen kann zudem über Minima und Maxima verfügen. Die Maxima werden gerne auch als “Berggipfel” und die Minima als “Täler” bezeichnet. Hierbei muss zwischen einem lokalen und einem strikt lokalen Maximum und einem lokalen und strikt lokalen Minimum unterschieden werden. Außerdem kann eine Funktion auch über ein globales Maximum bzw. Minimum verfügen. Bei diesem handelt es sich um den größten bzw. kleinsten Wert, den die Funktion erreichen kann. Dies kann sich natürlich ändern, wenn der Definitionsbereich der Funktion angepasst wird.
Die Stetigkeit
Eine Funktion kann als stetig oder unstetig bezeichnet werden. Eine Funktion ist in einem gewissen Intervall stetig, wenn es nur zu kleinen Änderungen der Funktionswerte kommt, wenn das x einer kleinen Änderung unterzogen wird. Bei einer stetigen Funktion ist der Graph durch eine zusammenhänge Kurve gegeben. Diese kann somit in einer Linie gezogen werden, ohne dass man dabei den Bleistift absetzen muss. Bei unstetigen Funktionen ist diese zusammenhängende Kurve im Graphen nicht gegeben. Hierbei kann es beispielsweise zu sogenannten Sprungstellen kommen. Wenn eine Funktion sowohl aus stetigen als auch unstetigen Elementen besteht, kann sie auch als stückweise stetig bezeichnet werden. Wenn aber eine Funktion durch einen Term definiert ist, ist sie in jedem Fall stetig.
Weiterführende Informationen
